Espaço de equilíbrio e uma pseudo linearização de sistemas não lineares

Dec 12, 2023

Scientific Reports volume 12, Número do artigo: 21147 (2022) Citar este artigo

3864 acessos

18 Altmétrica

Detalhes das métricas

Este artigo tenta estender o conceito de ponto de equilíbrio para o chamado espaço de equilíbrio, que pode se adaptar a um sistema no qual existe um número infinito de pontos de equilíbrio. No contexto do método de linearização de Lyapunov estendido para o espaço de equilíbrio, este artigo propõe uma pseudolinearização, a partir da qual podemos derivar uma representação linear para um sistema não linear. O estado de equilíbrio dessa pseudolinearização e sua estabilidade são os mesmos do sistema não linear original. Como exemplo de aplicabilidade, a pseudolinearização proposta é aplicada para derivar um modelo de tempo discreto para um sistema de giroscópio de momento de controle a partir de um modelo de tempo contínuo não linear. Os resultados da simulação mostram que o modelo de tempo discreto derivado usando a pseudo linearização proposta produz respostas mais próximas do modelo de tempo contínuo do que o modelo de tempo discreto derivado do conhecido método de diferença direta e da representação pseudo linear convencional método, mesmo com um grande intervalo de amostragem.

A maioria dos sistemas de engenharia baseados em fenômenos naturais são não lineares. Analisar a estabilidade e projetar controladores para sistemas não lineares são questões importantes na teoria de controle de sistemas1. No entanto, apesar do pioneirismo nas pesquisas neste campo, não existe um método universal para projetar sistemas de controle não linear2. Para estudar a estabilidade de sistemas não lineares, a teoria de Lyapunov que inclui tanto o método direto quanto o método de linearização (ou método indireto) é uma das abordagens mais gerais e úteis. O método direto é usado para estudar a estabilidade global de sistemas não lineares usando a função de Lyapunov; no entanto, uma desvantagem disso é que não há uma maneira geral de deduzir a função de Lyapunov para um sistema específico. Por outro lado, o método de linearização estuda a estabilidade local em torno de um ponto de equilíbrio com base em sua aproximação linear, tornando-se uma ferramenta importante para projetar controladores para sistemas não lineares usando as conhecidas teorias de controle linear3,4,5. Nos últimos anos, o operador de Koopman e a análise de contração tornaram-se duas das abordagens populares para analisar a estabilidade de equilíbrios hiperbólicos individuais de sistemas não lineares globalmente e exatamente por meio da teoria de sistemas lineares6,7.

Em sistemas como um robô movendo-se em um plano horizontal sem atrito8,9 ou um pêndulo não sob a influência da gravidade10,11, em que a posição/ângulo e a velocidade são selecionados como variáveis ​​de estado e a velocidade inicial é zerada, por uma posição inicial arbitrária, o sistema permanece no estado inicial para todas as instâncias futuras de tempo. Mais especificamente, esses sistemas possuem um número infinito de pontos de equilíbrio, que independem da posição. Tal conjunto de equilíbrios não isolados é conhecido como uma variedade de equilíbrios12,13. Deve-se notar que este conceito de variedade de equilíbrios é diferente da variedade central de um equilíbrio isolado14,15. O método de linearização de Lyapunov é uma ferramenta útil para investigar a estabilidade de um único ponto de equilíbrio. No entanto, para sistemas que possuem um número infinito de pontos de equilíbrio, não é realista investigar todos os pontos de equilíbrio individualmente. Além disso, os exemplos citados acima são conhecidos como sistemas não holonômicos, e a linearização pode alterar a controlabilidade do sistema não linear original16,17,18,19. Portanto, mesmo que o sistema não linear seja controlável, sua linearização torna-se incontrolável e inatingível para o projeto do controlador. Este artigo tenta estender o conceito de pontos de equilíbrio para o chamado espaço de equilíbrio, que pode se adaptar a sistemas que possuem um número infinito de pontos de equilíbrio. No contexto do método de linearização de Lyapunov, este artigo propõe uma pseudolinearização, pela qual podemos derivar um sistema não linear apresentado pela forma linear20,21,22,23. As principais contribuições deste artigo são as seguintes: